Question

14．已知f（x）=log_ax，g（x）=f（x）[f（x）+f（2）-1]，g（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)的g（x）=（log_ax-$\frac{1}{2}$log_a$\frac{a}{2}$）²$-\frac{1}{4}$log²_a$\frac{a}{2}$，其中x∈[$\frac{1}{2}$，2]，
分類得出①當(dāng)a∈（0，1）時(shí)，u=log_ax-$\frac{1}{2}$log_a$\frac{a}{2}$，遞減且log_ax∈[log_a2，log_a$\frac{1}{2}$]，判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的條件，對(duì)稱軸t=$\frac{1}{2}$log_a$\frac{a}{2}$≥log_a$\frac{1}{2}$，求解即可．
②當(dāng)a∈（1，+∞）時(shí)，u=log_ax-$\frac{1}{2}$log_a$\frac{a}{2}$，遞增且log_ax∈[log_a$\frac{1}{2}$，log_a2]，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得出t=$\frac{1}{2}$log_a$\frac{a}{2}$≤log_a$\frac{1}{2}$，解得a$≤\frac{1}{2}$，判斷是不是符合題意．

解答 解：∵f（x）=log_ax，g（x）=f（x）[f（x）+f（2）-1]，
∴g（x）=（log_ax-$\frac{1}{2}$log_a$\frac{a}{2}$）²$-\frac{1}{4}$log²_a$\frac{a}{2}$，其中x∈[$\frac{1}{2}$，2]，
①當(dāng)a∈（0，1）時(shí)，u=log_ax-$\frac{1}{2}$log_a$\frac{a}{2}$，遞減且log_ax∈[log_a2，log_a$\frac{1}{2}$]，
要使原函數(shù)g（x）遞增，則函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，因此，對(duì)稱軸t=$\frac{1}{2}$log_a$\frac{a}{2}$≥log_a$\frac{1}{2}$，解得a$≤\frac{1}{2}$，因此a∈（0，$\frac{1}{2}$]，
②當(dāng)a∈（1，+∞）時(shí)，u=log_ax-$\frac{1}{2}$log_a$\frac{a}{2}$，遞增且log_ax∈[log_a$\frac{1}{2}$，log_a2]，
要使原函數(shù)g（x）遞增，則函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
因此對(duì)稱軸t=$\frac{1}{2}$log_a$\frac{a}{2}$≤log_a$\frac{1}{2}$，解得a$≤\frac{1}{2}$，不符合題意．
綜上可得出：a∈（0，$\frac{1}{2}$]，

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，分類討論的思想的運(yùn)用，屬于綜合題．