Question

如圖，空間四邊形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝DC＝1，AD和BC所成角為60°，E、F分別為AB、CD邊的中點(diǎn)，求AB和CD所成的角及EF的長(zhǎng)．

Answer 1

答案：
解析：

如圖，過(guò)C作CP∥AB，并取CP＝AB＝2，連結(jié)AP；過(guò)P作PQ∥CD，取PQ＝CD＝1，連結(jié)QD，則四邊形ABCP、CDQP均為平行四邊形． 　　連結(jié)PD、AC，于是可得△PAD≌△DCP，故∠DCP＝∠PAD． 　　(1)當(dāng)∠DAP為銳角時(shí)，∠DCP、∠PAD分別為異面直線AB和CD，AD和BC所成的角，這時(shí)∠DCP＝∠PAD＝60°． 　　(2)當(dāng)∠DAP為鈍角時(shí)，∠DCP＝∠PAD＝120°，這時(shí)AB和CD所成角為∠DCP的補(bǔ)角，為60°． 　　連結(jié)AC，取AC中點(diǎn)M，連結(jié)EM、FM，則FMAD，MEBC， 　　∴∠EMF為異面直線AD和BC所成的角或其補(bǔ)角． 　　若∠EMF＝60°，則在△EFM中，由余弦定理得 　　EF2＝()2＋12－2××1×cos60°＝，即EF＝； 　　若∠EMF＝120°，則在△EFM中，由余弦定理得 　　EF2＝()2＋12－2××1×cos120°＝，即EF＝． 　　綜上所述，AB和CD所成的角為60°，EF的長(zhǎng)為或．