Question

8．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sinA，cosA），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，-1），$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=1，且A為銳角．
（1）求角A的大�。�
（2）函數(shù)f（x）=cos2x+4cosAsinx，求當x$∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$時，此函數(shù)的值域．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)量積運算性質(zhì)可得：1=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=2$sin（A-\frac{π}{6}）$，A為銳角．可得$A-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$．解得A．
（2）利用倍角公式可得：f（x）=-2$（sinx-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{3}{2}$，當x$∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$時，sinx∈$[\frac{\sqrt{2}}{2}，1]$．函數(shù)f（x）在x$∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$時單調(diào)遞減．即可得出．

解答 解：（1）∵1=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}sinA$-cosA=2$sin（A-\frac{π}{6}）$，A為銳角．
∴$A-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$．解得A=$\frac{π}{3}$．
（2）f（x）=cos2x+4cosAsinx=cos2x+2sinx=1-2sin²x+2sinx=-2$（sinx-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{3}{2}$，
當x$∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$時，sinx∈$[\frac{\sqrt{2}}{2}，1]$．
∴函數(shù)f（x）在x$∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$時單調(diào)遞減．
∴當sinx=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即x=$\frac{π}{4}$時，f（x）取得最大值$\sqrt{2}$．
當sinx=1，即x=$\frac{π}{2}$時，f（x）取得最小值1．
∴此函數(shù)的值域為$[1，\sqrt{2}]$．

點評 本題考查了數(shù)量積運算性質(zhì)、倍角公式、三角函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．