Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²+bx+c的圖象為曲線E．
（1）若曲線E上存在點(diǎn)P，使曲線E在P點(diǎn)處的切線與x軸平行，求a，b的關(guān)系；
（2）若函數(shù)f（x）可以在x=-1和x=3時(shí)取得極值，求此時(shí)a，b的值；
（3）在滿足（2）的條件下，設(shè)x₁，x₂∈[-2，6]，求證：|f（x₁）-f（x₂）|≤81恒成立．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）切線與x軸平行等價(jià)于函數(shù)在該點(diǎn)處取到極值，即函數(shù)存在導(dǎo)數(shù)值為零的點(diǎn)．利用二次方程有根的條件進(jìn)行求解；
（2）函數(shù)f（x）可以在x=-1和x=3時(shí)取得極值，可以得出函數(shù)在x=-1和x=3處導(dǎo)數(shù)值為零，利用韋達(dá)定理確定出a，b的值；
（3）將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題，通過求出函數(shù)的最值達(dá)到求解該題的目的．

解答： （1）解：f'（x）=3x²-2ax+b，設(shè)切點(diǎn)為P（x₀，y₀），
則曲線y=f（x）在點(diǎn)P的切線的斜率k=f'（x₀）=3x₀²-2ax₀+b
由題意知f'（x₀）=3x₀²-2ax₀+b=0有解，
∴△=4a²-12b≥0，即a²≥3b．
（2）解：若函數(shù)f（x）可以在x=-1和x=3處取得極值，
則f'（x）=3x²-2ax+b有兩個(gè)解x=-1和x=3，且滿足a²≥3b，
利用韋達(dá)定理得a=3，b=-9．
（3）由（2）得f（x）=x³-3x²-9x+c，
∴f′（x）=3x²-6x-9，令f′（x）=0得出x=-1或3，
當(dāng)x∈[-2，-1）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在x∈[-2，-1）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（-1，3）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在x∈（-1，3）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（3，6），f′（x）＞0，f（x）在x∈（3，6）上單調(diào)遞增，
因此，f（x）在x=-1時(shí)有極大值5+c，x=3時(shí)有極小值-27+c，且f（6）=54+c，f（-2）=-2+c．
∴函數(shù)f（x）=x³-3x²-9x+c（x∈[-2，6]）的最大值為54+c，最小值為-27+c，
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤|54+c+27-c|=81．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，考查函數(shù)有極值的條件．要準(zhǔn)確求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，考查分離變量思想解決函數(shù)恒成立問題，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想．