已知函數(shù)f(x)=x2lnx-a(x2-1),a∈R,
(1)當(dāng)a=0時(shí),求f(x)的最小值;
(2)當(dāng)x≥1時(shí),f(x)≥0恒成立,求a的取值范圍.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)a=0時(shí),f(x)=x2lnx,f′(x)=x(2lnx+1),由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f(x)有最小值-
1
2e

(2)由已知x≥1時(shí),f(x)min>0,f′(x)=x(2lnx+1-2a),x≥1,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍.
解答: 解:(1)a=0時(shí),f(x)=x2lnx,f′(x)=x(2lnx+1),…(2分)
x∈(0,e-
1
2
)時(shí),f(x)單調(diào)減,x∈(e -
1
2
,+∞)時(shí),f(x)單調(diào)增,…(4分)
所以當(dāng)x=e-
1
2
時(shí),f(x)有最小值-
1
2e
.…(5分)
(2)由已知,即x≥1時(shí),f(x)min>0,…(6分)
f′(x)=x(2lnx+1-2a),x≥1,…(8分)
當(dāng)1-2a≥0,即a
1
2
時(shí),f′(x)≥0恒成立,∴f(x)單調(diào)增
∴f(x)min=f(1)=0,即a
1
2
時(shí)滿足f(x)≥0恒成立.…(10分)
當(dāng)1-2a<0,即a>
1
2
時(shí),由f′(x)=0,得x=ea-
1
2
>1

x∈(1,ea-
1
2
)
時(shí),f(x)單調(diào)減,即x∈(1,e a-
1
2
)時(shí),
∴f(x)<f(1)=0與題設(shè)矛盾,
a>
1
2
時(shí),不能滿足f(x)≥0恒成立.…(12分)
綜上,所求a的取值范圍是a
1
2
.…(13分)
點(diǎn)評:本題考查函數(shù)的最小值的求法,考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)的合理運(yùn)用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知log 
1
2
x≥-2且4×22x-9×2x+2>0,
(1)求x的取值的集合A;
(2)x∈A時(shí),求函數(shù)f(x)=log2
x
2
•log 
2
x
2
的值域.
(3)g(t)=-t2+2at-a+
17
4
,在(1),(2)問的條件下,若任取x1,x2∈A,總存在t0∈(0,3),
使|f(x1)-f(x2)|≤g(t0)成立,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x3-ax2+bx+c的圖象為曲線E.
(1)若曲線E上存在點(diǎn)P,使曲線E在P點(diǎn)處的切線與x軸平行,求a,b的關(guān)系;
(2)若函數(shù)f(x)可以在x=-1和x=3時(shí)取得極值,求此時(shí)a,b的值;
(3)在滿足(2)的條件下,設(shè)x1,x2∈[-2,6],求證:|f(x1)-f(x2)|≤81恒成立.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB>1,點(diǎn)E在棱AB上移動,小螞蟻從點(diǎn)A沿長方體的表面爬到點(diǎn)C1,所爬的最短路程為2
2

(1)求AB的長度.
(2)求該長方體外接球的表面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=
sin(
2
+x)
cos(x-
π
2
)
•sin(x+π)•cos(π-x).
(Ⅰ)當(dāng)tan(π+x)=-2時(shí),求f(x)的值;
(Ⅱ)指出f(x)的最大值與最小值,并分別寫出使f(x)取得最大值、最小值的自變量x的集合.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

計(jì)算下列各式的值:
(1)(-0.8)0+(1.5)-2×(3
3
8
 
2
3
+9 
3
2
; 
(2)lg4+lg9+2
(lg6)2-2lg6+1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在△ABC中,AB=4cm,AC=3cm,角平分線AD=2cm,求此三角形面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

說出下列三視圖表示的幾何體:

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

等差數(shù)列{an},{bn},{cn}與{dn}的前n項(xiàng)和分別記為Sn,Tn,Pn,Qn.
Sn
Tn
=
5n+1
3n-1
f(n)=
an
bn
;
cn
dn
=
5n-2
3n-2
g(n)=
Pn
Qn
.則
f(n)
g(n)
的最小值=
 

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