Question

設(shè)p：方程x²+y²+kx+ky+k²-2=0表示圓；q：函數(shù)f（x）=（k-1）x+1在R上是增函數(shù)．如果p∨q是真命題，p∧q是假命題，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：對(duì)方程配方，可得命題p為真時(shí)的條件；根據(jù)一次函數(shù)為增函數(shù)可得命題q為真時(shí)的條件．根據(jù)復(fù)合命題真值表，可得p與q，一真一假，由此可得k的范圍．

解答：解：方程x²+y²+kx+ky+k²-2=0⇒(x+

k

2

)2+(y+

k

2

)2=2-

k2

2

，
方程表示圓，則2-

k2

2

＞0⇒k²＜4⇒-2＜k＜2，
∴命題p為真時(shí)：-2＜k＜2，
由函數(shù)f（x）=（k-1）x+1在R上是增函數(shù)．得：k＞1，
∴命題q為真時(shí)：k＞1，
若p∨q是真命題，p∧q是假命題，由復(fù)合命題真值表得：p與q，一真一假．
若p真q假，則有

-2＜k＜2 k≤1

⇒-2＜k≤1；
若p假q真，則有

k≤-2或k≥2 k＞1

⇒k≥2．
綜上所述，實(shí)數(shù)k的取值范圍是-2＜k≤1或k≥2．

點(diǎn)評(píng)：本題借助考查復(fù)合命題的真假判斷，考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一次函數(shù)的單調(diào)性，要熟練掌握復(fù)合命題真值表．