Question

【題目】已知函數(shù)，其中且.

（Ⅰ）討論的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若直線(xiàn)的圖象恒在函數(shù)圖像的上方，求的取值范圍；

（Ⅲ）若存在，，使得，求證：.

Answer 1

【答案】（I）在是增函數(shù)，在是減函數(shù)；（II）；（III）證明見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（I）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（II）根據(jù)直線(xiàn)的圖象恒在函數(shù)圖像的上方，轉(zhuǎn)化為恒成，即可求解的取值范圍；（III）利用函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)零點(diǎn)之間的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性即可證明結(jié)論.

試題解析：（Ⅰ）的定義域?yàn)?/span>.

期導(dǎo)數(shù)…………………1分

①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上是增函數(shù)；…………2分

②當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，；在區(qū)間上，.

所以在在是增函數(shù)，在是減函數(shù)，………………4分

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，取，則，不合題意.

當(dāng)時(shí)，令，則………………6分

問(wèn)題化為求恒成立時(shí)的取值范圍.

由于…………………7分

∴在區(qū)間上，；在區(qū)間上，

∴的最小值為，

所以只需，即

∴即…………9分

（Ⅲ）由于當(dāng)時(shí)函數(shù)在上是增函數(shù)，不滿(mǎn)足題意，所以

構(gòu)造函數(shù)

∴…………………11分

則，所以函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù).

∵，則

于是，又，，

由在上減函數(shù)可知，即…………14分