Question

如圖，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)為F₁、F₂，其上頂點(diǎn)為A．已知△F₁AF₂是邊長(zhǎng)為2的正三角形．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)Q（-4，0）任作一動(dòng)直線(xiàn)l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，記

MQ

=λ•

QN

，若在線(xiàn)段MN上取一點(diǎn)R使得

MR

=-λ•

RN

，試判斷當(dāng)直線(xiàn)l運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)R是否在某一定直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)？若在請(qǐng)求出該定直線(xiàn)，若不在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由已知得c=1，a=2，由此能求出橢圓C的方程．
（2）由題意知直線(xiàn)MN的斜率必存在，設(shè)其直線(xiàn)方程為y=k（x+4），設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），聯(lián)立方程組

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x+4)

，得（3+4k²）x²+32k²x+64k²-12=0，由此利用向量知識(shí)、韋達(dá)定理，結(jié)合已知條件能求出點(diǎn)R在定直線(xiàn)x=-1上．

解答： （本小題滿(mǎn)分10分）
解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)為F₁、F₂，其上頂點(diǎn)為A，
△F₁AF₂是邊長(zhǎng)為2的正三角形，
∴c=1，a=2，…（1分）
故橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．…（3分）
（2）由題意知直線(xiàn)MN的余率必存在，設(shè)其直線(xiàn)方程為y=k（x+4），
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），聯(lián)立方程組

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x+4)

，
消去y，得（3+4k²）x²+32k²x+64k²-12=0，
∴△=144（1-4k²）＞0，x1+x2=

-32k2

3+4k2

，x1x2=

64k2-12

3+4k2

，
由

MQ

=λ•

QN

，得-4-x₁=λ（x₂+4），
解得λ=-

x1+4

x2+4

，
設(shè)點(diǎn)R的坐標(biāo)為（x₀，y₀），則由

MR

=-λ•

RN

，
得x₀-x₁=-λ（x₂-x₀），
解得x0=

x1-λx2

1-λ

=

x1+ x1+4 x2+4 x2

1+ x1+4 x2+4

=

2x1x2+4(x1+x2)

(x1+x2)+8

，
又2x1x2+4(x1+x2)=2×

64k2-12

3+4k2

+4×

-32k2

3+4k2

=

-24

3+4k2

，
（x₁+x₂）+8=

-32k2

3+4k2

+8=

24

3+4k2

，
從而x0=

2x1x2+4(x1+x2)

(x1+x2)+8

=-1，
故點(diǎn)R在定直線(xiàn)x=-1上．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查點(diǎn)是否在在定直線(xiàn)上的判斷與求法，解題時(shí)要注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．