Question

11．設a＞0，f（x）=$\frac{{e}^{x}}{a}$+$\frac{a}{{e}^{x}}$（e為常數(shù)，e=2.71828…）在R上滿足f（x）=f（-x）．
（1）求a的值；
（2）證明：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（3）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=f（-x），化簡整理可得a=$\frac{1}{a}$，即可得到a的值；
（2）運用單調(diào)性的定義，結合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得證；
（3）由（2）可得函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上遞增，計算即可得到最值．

解答 解：（1）由f（x）=f（-x），可得
$\frac{{e}^{x}}{a}$+$\frac{a}{{e}^{x}}$=$\frac{{e}^{-x}}{a}$+ae^x，即為e^x（a-$\frac{1}{a}$）=e^-x（a-$\frac{1}{a}$），
可得a=$\frac{1}{a}$，解得a=1（-1舍去）；
（2）證明：f（x）=e^x+e^-x，
設0＜m＜n，f（m）-f（n）=e^m+e^-m-（eⁿ+e^-n）
=（e^m-eⁿ）（1-$\frac{1}{{e}^{m+n}}$），
由0＜m＜n，可得e^m＜eⁿ，0＜$\frac{1}{{e}^{m+n}}$＜1，
即有f（m）-f（n）＜0，
則f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（3）由（2）可得函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上遞增，
即有f（1）取得最小值，且為e+e^-1，
f（2）取得最大值，且為e²+e^-2．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷與證明，考查函數(shù)的最值的求法，注意運用單調(diào)性，屬于中檔題．