Question

13．已知拋物線E的頂點(diǎn)為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)為圓F：x²+y²-4x+3=0的圓心F．經(jīng)過點(diǎn)F的直線l交拋物線E于A，D兩點(diǎn)，交圓F于B，C兩點(diǎn)，A，B在第一象限，C，D在第四象限．
（1）求拋物線E的方程；
（2）是否存在直線l，使2|BC|是|AB|與|CD|的等差中項(xiàng)？若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，設(shè)拋物線E的方程為y²=2px，由圓的方程分析可得圓心及半徑，即可得$\frac{p}{2}=2$，解得p的值，代入拋物線的方程可得答案；
（2）根據(jù)題意，由等差數(shù)列的性質(zhì)分析可得|AD|=|AB|+|BC|+|CD|=10，分兩種情況討論：若l垂直于x軸，分析易得此時不滿足題意，若l不垂直于x軸，設(shè)l的斜率為k，可以設(shè)出l的方程為y=k（x-2），聯(lián)立直線與拋物線的方程結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系分析可得k的值，代入直線方程中可得直線的方程，即可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)已知設(shè)拋物線E的方程為y²=2px（p＞0）．
∵圓F的方程為（x-2）²+y²=1，
∴圓心F的坐標(biāo)為F（2，0），半徑r=1．
∴$\frac{p}{2}=2$，解得p=4．
∴拋物線E的方程為y²=8x．
（2）根據(jù)題意，∵2|BC|是|AB|與|CD|的等差中項(xiàng)，∴|AB|+|CD|=4|BC|=4×2r=8．
∴|AD|=|AB|+|BC|+|CD|=10．
若l垂直于x軸，則l的方程為x=2，代入y²=8x，得y=±4．
此時|AD|=|y₁-y₂|=8≠10，即直線x=2不滿足題意．
若l不垂直于x軸，設(shè)l的斜率為k，由已知得k≠0，l的方程為y=k（x-2）．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{{y^2}=8x}\end{array}}\right.$得k²x²-（4k²+8）x+4k²=0．
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{4{k^2}+8}}{k^2}$．
∵拋物線E的準(zhǔn)線為x=-2，
∴|AD|=|AF|+|DF|=（x₁+2）+（x₂+2）=x₁+x₂+4，
∴$\frac{{4{k^2}+8}}{k^2}+4=10$，解得k=±2．
當(dāng)k=±2時，k²x²-（4k²+8）x+4k²=0化為x²-6x+4=0，
∵△=（-6）²-4×1×4＞0，∴x²-6x+4=0有兩個不相等實(shí)數(shù)根．
∴k=±2滿足題意，即直線y=±2（x-2）滿足題意．
∴存在滿足要求的直線l，它的方程為2x-y-4=0或2x+y-4=0．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，涉及直線與拋物線的位置關(guān)系，涉及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時，注意分析直線的斜率是否存在．