Question

如圖，簡(jiǎn)單組合體底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC．
（1）求證：BE∥平面PDA；
（2）若，求平面PBE與平面ABCD夾角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）把問題轉(zhuǎn)化為證明平面EBC∥平面PAD即可得到結(jié)論；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面法向量的坐標(biāo)，再代入向量的夾角計(jì)算公式即可得到結(jié)論．
解答：解：（1）∵EC∥PD，PD在平面PAD內(nèi)，EC不在平面PAD內(nèi)，
∴EC∥平面PAD，同理可得BC∥平面PAD，…（2分）
∵EC在平面EBC內(nèi)，BC在平面EBC內(nèi)
且EC∩BC=C
∴平面EBC∥平面PAD，
又∵BE在平面EBC內(nèi)，…（4分）
∴BE∥平面PDA…（6分）
另解：建系，利用向量，參照給分．
（2）以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA、DC、DP所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），P（0，0，），E（0，2，）．
知=，=…（8分）
設(shè)平面PBE的法向量為=（x，y，z）
∵
∴
取=…（10分）
又=（0，0，1）⊥平面ABCD
故所求夾角的余弦值為．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考察用空間向量求平面間的夾角以及直線與平面平行的判定．用空間向量求平面間的夾角的關(guān)鍵在于建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，準(zhǔn)確求出兩個(gè)平面的法向量．