Question

10．設變量x，y滿足約束條件$\left\{{\begin{array}{l}x-y≤0\\ x+y＜1\\ 2x+y≥1\end{array}}\right.$，則目標函數(shù)z=-2y-3x的（　�。�

• A． 最大值為$-\frac{5}{3}$，最小值為$-\frac{5}{2}$
• B． 最大值為$-\frac{5}{3}$，最小值不存在
• C． 最大值為-2，最小值不存在
• D． 最大值不存在，最小值為$-\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，進行求最值即可．

解答 解：作出不等式組對于的平面區(qū)域如圖：
由z=-2y-3x，則y=$-\frac{3}{2}$x-$\frac{z}{2}$，
平移直線y=$-\frac{3}{2}$x-$\frac{z}{2}$，
由圖象可知當直線y=$-\frac{3}{2}$x-$\frac{z}{2}$經(jīng)過點A時，直線y=$-\frac{3}{2}$x-$\frac{z}{2}$的截距最大，此時z最小，
經(jīng)過點B時，直線y=$-\frac{3}{2}$x-$\frac{z}{2}$的截距最小，此時z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{x+y=1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即A（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{2x+y=1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}}\\{y=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，即B（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$）
此時z_min=-2×$\frac{1}{2}$-3×$\frac{1}{2}$=$-\frac{5}{2}$，
z_max=-2×$\frac{1}{3}$-3×$\frac{1}{3}$=$-\frac{5}{3}$，
故$-\frac{5}{2}$＜z≤$-\frac{5}{3}$，
即最大值為$-\frac{5}{3}$，最小值不存在，
故選：B

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用z的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關鍵．