Question

如圖所示，矩形ABCD的邊AB=a，BC=2，PA⊥平面ABCD，PA=2，現(xiàn)有數(shù)據(jù)：①；②a=1；③；④a=2；⑤a=4．
（1）當(dāng)在BC邊上存在點(diǎn)Q，使PQ⊥QD時(shí)，a可能取所給數(shù)據(jù)中的哪些值，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）在滿足（1）的條件下，a取所給數(shù)據(jù)中的最大值時(shí)，求直線PQ與平面ADP所成角的正切值；
（3）記滿足（1）的條件下的Q點(diǎn)為Q_n（n=1，2，3，…），若a取所給數(shù)據(jù)的最小值時(shí)，這樣的點(diǎn)Q_n有幾個(gè)，試求二面角Q_n-PA-Q_n+1的大小．

Answer 1

【答案】分析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為：A（0，0，0，），B（a，0，0），C（a，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），設(shè)Q（a，x，0）．（0≤x≤2）

（1），由PQ⊥QD得，由此能求出a的可能取值．
（2）a=1時(shí)，x=1，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，1，0），從而，又為平面ADP的一個(gè)法向量，
所以，由此能求出直線PQ與平面ADP所成角的正切值．
（3）時(shí)，，即滿足條件的點(diǎn)Q有兩個(gè)，其坐標(biāo)為．由PA⊥平面ABCD，知PA⊥AQ₁，PA⊥AQ₂，所以∠Q₁AQ₂就是二面角Q₁-PA-Q₂的平面角．由，知二面角Q₁-PA-Q₂的大小為30．
解答：解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為：
A（0，0，0，），B（a，0，0），C（a，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），
設(shè)Q（a，x，0）．（0≤x≤2）

（1）∵，
∴由PQ⊥QD得
∵x∈[0，2]，
a²=x（2-x）∈（0，1]
∴在所給數(shù)據(jù)中，
a可取和a=1兩個(gè)值．
（2）由（1）知a=1，
此時(shí)x=1，即Q為BC中點(diǎn)，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，1，0）
從而，
又為平面ADP的一個(gè)法向量，
∴，
∴直線PQ與平面ADP所成角的正切值為．
（3）由（1）知，
此時(shí)，
即滿足條件的點(diǎn)Q有兩個(gè)，
其坐標(biāo)為
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AQ₁，PA⊥AQ₂，
∴∠Q₁AQ₂就是二面角Q₁-PA-Q₂的平面角．
由，
得∠Q₁AQ₂=30？，
∴二面角Q₁-PA-Q₂的大小為30．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間角的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，恰當(dāng)?shù)亟�立空間直角坐標(biāo)系，注意向量法的合理運(yùn)用．