Question

已知橢圓的離心率為，短軸的一個端點到右焦點的距離為，直線l：y=kx+m交橢圓于不同的兩點A，B．
（1）求橢圓的方程；
（2）若坐標原點O到直線l的距離為，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

解：（1）設橢圓的半焦距為c，依題意，離心率為，短軸的一個端點到右焦點的距離為，
∴，a=
∴c=，∴b=1，∴所求橢圓方程；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
①當AB⊥x軸時，|AB|=．
②當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y=kx+m．
∵坐標原點O到直線l的距離為，∴，∴得m²=（k²+1）．
把y=kx+m代入橢圓方程，整理得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，
∴x₁+x₂=-，x₁x₂=．
∴|AB|²=（1+k²）（x₂-x₁）²=3+=3+≤3+（k≠0）
當且僅當9k²=，即k=±時等號成立．
當k=0時，|AB|=，
綜上所述|AB|_max=2．
∴當|AB|最大時，△AOB面積取最大值S=．
分析：（1）設橢圓的半焦距為c，依題意求出a，b的值，從而得到所求橢圓的方程．
（2）分類討論，將直線方程代入橢圓方程，利用根與系數(shù)的關系，結合基本不等式，即可求△AOB面積的最大值．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查分類討論的數(shù)學思想，求|AB|的最大值是關鍵．