Question

【題目】圓周上分布著2014個(gè)點(diǎn),將其任意染成紅、黃兩色.若從某一點(diǎn)開(kāi)始,依任一方向繞圓周運(yùn)動(dòng)到任一位置,所經(jīng)過(guò)的點(diǎn)(含自身)紅點(diǎn)個(gè)數(shù)恒大于黃點(diǎn)個(gè)數(shù),則稱該點(diǎn)為“優(yōu)點(diǎn)”.為確保圓周上至少有一個(gè)優(yōu)點(diǎn),求圓周上黃點(diǎn)個(gè)數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】671

【解析】

優(yōu)點(diǎn)一定為紅點(diǎn).

首先考慮簡(jiǎn)單情形.

當(dāng)圓周上分別有1、2、3、4、5,6、7個(gè)點(diǎn)時(shí),若圓周上至少有一個(gè)優(yōu)點(diǎn),則圓周上黃點(diǎn)個(gè)數(shù)最大值分別為0、0、0、1、1、1、2.

由此,得到一般性結(jié)論：圓周上有個(gè)點(diǎn),將其任意染成紅、黃兩色.當(dāng)且僅當(dāng)黃點(diǎn)個(gè)數(shù)不大于時(shí),才能保證圓周上至少有一個(gè)優(yōu)點(diǎn)存在.

接下來(lái)用數(shù)學(xué)歸納法給出證明.當(dāng)時(shí),圓周上有四個(gè)點(diǎn)(一個(gè)黃點(diǎn)三個(gè)紅點(diǎn)),在三個(gè)相連的紅點(diǎn)中取居中的那個(gè),易知,其為優(yōu)點(diǎn).故時(shí)命題成立.

假設(shè)當(dāng)時(shí),命題成立,即圓周上有個(gè)點(diǎn),分別染成紅、黃兩色,為確保圓周上至少有一個(gè)優(yōu)點(diǎn),則黃點(diǎn)個(gè)數(shù)不超過(guò).

當(dāng)時(shí),在個(gè)黃點(diǎn)中任取一個(gè),記為.在兩旁分別取與最近的紅點(diǎn),分別記為.將此三點(diǎn)從圓周上拿走,則在圓周上只剩下個(gè)點(diǎn),且滿足時(shí)命題成立的條件.

由歸納假設(shè),知圓周上至少存在一個(gè)優(yōu)點(diǎn),記為.再把三點(diǎn)放回原位置.

下面證明：點(diǎn)仍為優(yōu)點(diǎn).

因?yàn)?/span>為紅點(diǎn),所以,點(diǎn)必在弧外.因此,從點(diǎn)出發(fā)到弧()上任一位置,紅點(diǎn)個(gè)數(shù)與黃點(diǎn)個(gè)數(shù)之差至少大于1,到點(diǎn)時(shí)至少大于0.故仍為優(yōu)點(diǎn).

從而,當(dāng)時(shí),命題成立.

另一方面,在個(gè)點(diǎn)中,若黃點(diǎn)個(gè)數(shù)為,將圓周分成段,將個(gè)紅色點(diǎn)放入每一段弧中,每段弧中至多兩個(gè)點(diǎn),則每個(gè)紅點(diǎn)均不可能為優(yōu)點(diǎn).

因此,圓周上黃點(diǎn)個(gè)數(shù)的最大值為.

又,則圓周上黃點(diǎn)個(gè)數(shù)的最大值為671.