Question

【題目】已知點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，且過(guò)點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）或

【解析】

(1)由已知條件找到a,b,c的等量關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理化簡(jiǎn)，即可得到直線方程.

（1）因?yàn)?/span>，所以，解得：①

因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，

所以，即②

又③

由①②③，解得：，，，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）由（1）知，，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，顯然直線的斜率存在，設(shè)為，

則直線的方程為，設(shè)點(diǎn)

聯(lián)立，消去得：，

所以，

所以（★）

且，，

因?yàn)?/span>，，

若，則，

所以

所以，

所以

所以

所以

所以

所以，所以，解得：

因?yàn)?/span>都滿足（★）式，所以直線的方程為或

即直線的方程為或