Question

6．已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x+1|，P為不等式f（x）＞4的解集．
（Ⅰ）求P；
（Ⅱ）證明：當(dāng)m，n∈P時，|mn+4|＞2|m+n|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得 f（x），分類討論求得不等式f（x）＞4的解集P．
（Ⅱ）由題意可得m²≥4，n²≥4，計算左邊的平方減去右邊的平方的結(jié)果大于或等于零，不等式得證．

解答 （Ⅰ）解：f（x）=|x-1|+|x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{2x，x≥1}\\{2，-1＜x＜1}\\{-2x，x≤-1}\end{array}\right.$，
由f（x）的單調(diào)性及f（x）＞4得，$\left\{\begin{array}{l}{2x＞4}\\{x≥1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-2x＞4}\\{x≤-1}\end{array}\right.$，解得x＞2或x＜-2．
所以不等式f（x）＞4的解集為P={x|x＞2或x＜-2}．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知|m|＞2，|n|＞2，
所以m²＞4，n²＞4，（mn+4）²-4（m+n）²=（m²-4）（n²-4）＞0，
所以（mn+4）²＞4（m+n）²，
從而有|mn+4|＞2|m+n|．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化和分類討論的數(shù)學(xué)思想，用比較法證明不等式，屬于中檔題．