Question

16．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+2cost\\ y=2sint\end{array}\right.（t$為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C₂：ρ=2sinθ，曲線C₃：θ=$\frac{π}{6}$（ρ＞0），A（2，0）．
（1）把C₁的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)C₃分別交C₁，C₂于點(diǎn)P，Q，求△APQ的面積．

Answer 1

分析 （1）先把曲線C₁的參數(shù)方程化為普通方程，由此能求出C₁的極坐標(biāo)方程．
（2）依題意，設(shè)點(diǎn)P、Q的極坐標(biāo)分別為（ρ₁，$\frac{π}{6}$），（ρ₂，$\frac{π}{6}$），將$θ=\frac{π}{6}$代入ρ=4cosθ，得ρ₁=2$\sqrt{3}$，將$θ=\frac{π}{6}$代入ρ=2sinθ，得ρ₂=1，由此能求出結(jié)果．

解答 解：（1）∵曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+2cost\\ y=2sint\end{array}\right.（t$為參數(shù)），
∴C₁的普通方程為（x-2）²+y²=4，即x²+y²-4x=0，
∴C₁的極坐標(biāo)方程為ρ²-4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ．
（2）依題意，設(shè)點(diǎn)P、Q的極坐標(biāo)分別為（ρ₁，$\frac{π}{6}$），（ρ₂，$\frac{π}{6}$），
將$θ=\frac{π}{6}$代入ρ=4cosθ，得ρ₁=2$\sqrt{3}$，
將$θ=\frac{π}{6}$代入ρ=2sinθ，得ρ₂=1，
∴|PQ|=|ρ₁-ρ₂|=2$\sqrt{3}$-1，
依題意，點(diǎn)A（2，0）到曲線$θ=\frac{π}{6}$（ρ＞0）的距離d=|OA|sin$\frac{π}{6}$=1，
∴S_△APQ=$\frac{1}{2}$|PQ|•d=$\frac{1}{2}$×（2$\sqrt{3}-1$）×1=$\sqrt{3}-\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線的極坐標(biāo)方程的求法，考查三角形面積的求法，考查參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程互化公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力、轉(zhuǎn)化化歸思想，是中檔題．