Question

9．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}+3，\frac{n}{3}∉N*}\\{{a}_{n}，\frac{n}{3}∈N*}\end{array}\right.$，則S_3n=9n²+3n．

Answer 1

分析 由題意可得：a_3n-1=a_3n-2+3，a_3n=a_3n-1+3，可得a_3n-2+a_3n-1+a_3n=3a_3n-2+9．a(chǎn)_3n+1=a_3n=a_3n-1+3=a_3n-2+6，又a₁=1，可得：a_3n-2=1+6（n-1）=6n-5．分組求和即可得出．

解答 解：由題意可得：a_3n-1=a_3n-2+3，a_3n=a_3n-1+3，可得a_3n-2+a_3n-1+a_3n=3a_3n-2+9．
a_3n+1=a_3n=a_3n-1+3=a_3n-2+6，又a₁=1，
∴a_3n-2=1+6（n-1）=6n-5．
∴S_3n=（a₁+a₂+a₃）+…+（a_3n-2+a_3n-1+a_3n）
=3（a₁+a₄+…+a_3n-2）+9n
=3×$\frac{n（1+6n-5）}{2}$+9n
=9n²+3n．
故答案為：9n²+3n．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、分組求和、等差數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．