Question

如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面是邊長(zhǎng)為1的菱形，側(cè)棱長(zhǎng)為2．
（1）B₁D₁與A₁D能否垂直？請(qǐng)證明你的判斷；
（2）當(dāng)∠A₁B₁C₁在上變化時(shí)，求異面直線(xiàn)AC₁與A₁B₁所成角的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：AC∩BD=O，分別以O(shè)₁B₁，O₁C₁，O₁O所在直線(xiàn)為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，（1）求出，計(jì)算說(shuō)明不垂直；
（2）當(dāng)∠A₁B₁C₁在上變化時(shí)，求求出，然后求，即可求異面直線(xiàn)AC₁與A₁B₁所成角的取值范圍．
解答：解：∵菱形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁于O₁，
設(shè)AC∩BD=O，分別以O(shè)₁B₁，O₁C₁，O₁O所在直線(xiàn)為x，y，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)B₁（a，0，0），C₁（0，b，0）（a²+b²=1），
則D₁（-a，0，0），A₁（0，-b，0），D（-a，0，2）
（1）∵，
∴
∴B₁D₁與A₁D不能垂直．
（2）∵∠A₁B₁C₁∈，∴，
∵A（0，-b，2）∴，
，
，
∴
∵a²+b²=1，∴設(shè)a=cosα，b=sinα，又，
∴
∴
=
=
∵2≤csc²α≤4，∴
∴直線(xiàn)AC₁與A₁B₁所成角的取值范圍是．
點(diǎn)評(píng)：本題考查用向量證明垂直，異面直線(xiàn)及其所成的角，考查學(xué)生計(jì)算能力，是中檔題．