Question

已知直線y=k（x-m）與拋物線y²=2px（p＞0）交于A、B兩點，且OA⊥OB，OD⊥AB于點D，若動點D的坐標滿足方程x²+y²-4x=0，則m等于（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：設(shè)出D的坐標，求出OD的斜率，利用OD⊥AB于D，動點D的坐標滿足方程x²+y²-4x=0，確定x的值，代入k•k′=-1，化簡即可求出m的值．

解答： 解：∵點D在直線AB：y=k（x-m）上，∴設(shè)D坐標為（x，k（x-m）），
則OD的斜率為k′=

k(x-m)

x

；
又∵OD⊥AB，AB的斜率為k，
∴k•k′=

k2(x-m)

x

=-1，即k（x-m）=-

x

k

；
又∵動點D的坐標滿足x²+y²-4x=0，即x²+[k（x-m）]²-4x=0，
將k（x-m）=-

x

k

代入上式，得x=

4k2

k2+1

；
再把x代入到

k2(x-m)

x

=-1中，
化簡得4k²-mk²+4-m=0，即（4-m）•（k²+1）=0，
∵k²+1≠0，∴4-m=0，∴m=4．
故選：D．

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用問題，也考查了分析問題、解決問題的能力，是中檔題．