Question

已知f（x）=lg

1-x

1+x

的定義域為（-1，1），
（1）求f（

1

2013

）+f（-

1

2013

）；
（2）探究函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并證明．

Answer 1

考點：對數(shù)的運算性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由于f（-x）+f（x）=lg

1+x

1-x

+lg

1-x

1+x

=0，即可得到所求值；
（2）函數(shù)f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減．運用單調(diào)性的定義，同時結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得證．

解答： 解：（1）由于f（-x）+f（x）=lg

1+x

1-x

+lg

1-x

1+x

=lg1=0，
則有f（

1

2013

）+f（-

1

2013

）=0；
（2）函數(shù)f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減．
理由如下：令-1＜m＜n＜1，則f（m）-f（n）=lg

1-m

1+m

-lg

1-n

1+n

=lg

(1-m)(1+n)

(1+m)(1-n)

，
由于

(1-m)(1+n)

(1+m)(1-n)

-1=

2(n-m)

(1+m)(1-n)

＞0，
則

(1-m)(1+n)

(1+m)(1-n)

》1，即有l(wèi)g

(1-m)(1+n)

(1+m)(1-n)

＞0，
即有f（m）＞f（n），
則有函數(shù)f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減．

點評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運用，考查函數(shù)的單調(diào)性及判斷和證明，考查運算能力，屬于中檔題．