Question

平面四邊形ABED中，O在線段AD上，且OA=1，OD=2，△OAB，△ODE都是正三角形．將四邊形ABED沿AD翻折后，使點(diǎn)B落在點(diǎn)C位置，點(diǎn)E落在點(diǎn)F位置，且F點(diǎn)在平面ABED上的射影恰為線段OD的中點(diǎn)（即垂線段的垂足點(diǎn)），所得多面體ABEDFC，如圖所示
（1）求棱錐F-OED的體積；             
（2）證明：BC∥EF．

Answer 1

分析：（1）利用錐體的體積公式求解體積．
（2）利用線面平行的性質(zhì)定理證明直線平行．

解答：解：（1）由已知可得△OAC≌△OAB，△ODE≌△ODF，
又∵OD=2，∴S△ODE=

3

∵F在平面ABCD的射影為線段OD的中點(diǎn)∴棱錐F-OED高h=

3

，
∴VF-OED=

1

3

S△OED•h=1
（2）設(shè)DE中點(diǎn)為G，DF中點(diǎn)為H
連結(jié)CH、BG、GH，有EF∥GH，
由已知可得，在平面ADFC中有∠COA=∠FDA=60°
∵OC∥DH
又∵OC=1，DF=2
∴DH=

1

2

DF=1
則OC∥DH，OC=DH
∴四邊形ODHC為平行四邊形
∴CH∥OD．CH=OD
同理可證BG∥OD，BG=OD
∴CH∥BG，CH=BG
∴四邊形BCHG為平行四邊形
∴BC∥GH
故BC∥EF

點(diǎn)評：本題主要考查空間幾何體的體積公式以及空間直線平行的判斷，要求熟練掌握相應(yīng)的體積公式．