Question

16．已知橢圓：C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，一條準(zhǔn)線：x=2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M是l上的點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓C的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于P，Q兩點(diǎn)．
①若PQ=$\sqrt{6}$，求圓D的方程；
②若M是l上的動(dòng)點(diǎn)，求證：P在定圓上，并求該定圓的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{{a}^{2}}{c}$=2，解方程可求a，c利用b²=a²-c²，可求b，即可求解橢圓C的方程；
（2）①先設(shè)M（2，t），然后求出圓D的方程及直線PQ的方程，聯(lián)立直線與圓的方程，結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系及弦長(zhǎng)公式及已知PQ=6，可求t，進(jìn)而可求圓D的方程；
②設(shè)出P，由①知P滿足圓D及直線PQ的方程，代入后消去參數(shù)t即可判斷．

解答 解：（1）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{{a}^{2}}{c}$=2，
解得a=$\sqrt{2}$，c=1，
即有b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）①由（1）知：F（1，0），設(shè)M（2，t），
圓心D（1，$\frac{1}{2}$t），半徑為$\sqrt{1+\frac{1}{4}{t}^{2}}$，
則圓D的方程：（x-1）²+（y-$\frac{1}{2}$t）²=1+$\frac{1}{4}$t²，
直線PQ的斜率為-$\frac{2}{t}$，
則直線方程：2x+ty-2=0，
∴由弦長(zhǎng)公式可得，2$\sqrt{1+\frac{1}{4}{t}^{2}-（\frac{|2+\frac{1}{2}{t}^{2}-2|}{\sqrt{4+{t}^{2}}}）^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴t²=4，t=±2．
∴圓D的方程：（x-1）²+（y-1）²=2或（x-1）²+（y+1）²=2；
②證明：設(shè)P（x₁，y₁），
由①知：$\left\{\begin{array}{l}{（{x}_{1}-1）^{2}+（{y}_{1}-\frac{1}{2}t）^{2}=1+\frac{1}{4}{t}^{2}}\\{2{x}_{1}+t{y}_{1}-2=0}\end{array}\right.$，
即：$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}-2{x}_{1}-t{y}_{1}=0}\\{2{x}_{1}+t{y}_{1}-2=0}\end{array}\right.$，
消去t得：x₁²+y₁²=2，
∴點(diǎn)P在定圓x²+y²=2上．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了利用橢圓的性質(zhì)求解橢圓方程，直線與圓，與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算能力．