Question

5．若O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$+7$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，則△OAB和△ABC的面積之比為（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{2}{5}$

Answer 1

分析 延長(zhǎng)CO交AB于M，從而$\overrightarrow{OM}=λ\overrightarrow{CO}$，根據(jù)條件可得到$\overrightarrow{CO}=\frac{3}{7}\overrightarrow{OA}+\frac{4}{7}\overrightarrow{OB}$，從而可以得到$\overrightarrow{OM}=\frac{3λ}{7}\overrightarrow{OA}+\frac{4λ}{7}\overrightarrow{OB}$．而根據(jù)A，M，B三點(diǎn)共線便可得出$\overrightarrow{OM}=（1-μ）\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$，這樣由平向量基本定理即可得到$\frac{3λ}{7}+\frac{4λ}{7}=1$，求出λ=1，這說(shuō)明O為CM的中點(diǎn)，從而便可得出△OAB和△ABC的面積之比為$\frac{1}{2}$．

解答 解：如圖，延長(zhǎng)CO，設(shè)交AB于M；
由$3\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}+7\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$得：$\overrightarrow{CO}=\frac{3}{7}\overrightarrow{OA}+\frac{4}{7}\overrightarrow{OB}$；
C，O，M三點(diǎn)共線；
∴$\overrightarrow{OM}=λ\overrightarrow{CO}=\frac{3λ}{7}\overrightarrow{OA}+\frac{4λ}{7}\overrightarrow{OB}$；
A，M，B三點(diǎn)共線；
∴$\overrightarrow{AM}=μ\overrightarrow{AB}$；
∴$\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}=μ（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）$；
∴$\overrightarrow{OM}=（1-μ）\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$；
∴由平面向量基本定理得：$\frac{3λ}{7}+\frac{4λ}{7}=1-μ+μ=1$；
∴λ=1；
即$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{CO}$；
∴O為CM中點(diǎn)；
∴$\frac{|\overrightarrow{OM}|}{|\overrightarrow{CM}|}=\frac{1}{2}$；
∴△OAB和△ABC的面積之比為$\frac{1}{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 考查共線向量基本定理，以及平面向量基本定理，三角形的面積計(jì)算公式，向量相等的概念，可記�。寒�(dāng)A，B，C三點(diǎn)共線時(shí)，$\overrightarrow{PB}=x\overrightarrow{PA}+y\overrightarrow{PB}$，則x+y=1．