已知為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，；

（1）求在上的解析式；

（2）試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并給出證明.

 

【答案】

(1)  ；

 (2)函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)減函數(shù).證明見解析。

【解析】（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012121811141356107336/SYS201212181115038891392771_DA.files/image002.png">為定義在上的奇函數(shù)，所以；當(dāng)時，利用，可得；就得到在上的解析式；（2）先分析單調(diào)性，再利用定義按下面過程：取值，作差，變形，定號，得單調(diào)性.

(1)當(dāng)時,，

所以，

又    6分

 (2)函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)減函數(shù).

證明如下:

設(shè)是區(qū)間上的任意兩個實(shí)數(shù)，且，

則8分

   ，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012121811141356107336/SYS201212181115038891392771_DA.files/image016.png">,

所以   即.

所以函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)減函數(shù).    12分

 

練習(xí)冊系列答案
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已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意實(shí)數(shù)a，b都有f（a•b）=af（b）+bf（a），則（　　）

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1
b
，
1
a
]？若存在，求出a，b；若不存在，請說明理由．

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(2)判斷f(x)在(0，1)上的單調(diào)性；

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已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意實(shí)數(shù)a，b都有f（a•b）=af（b）+bf（a），則


  1. A.
    f（x）是奇函數(shù)，但不是偶函數(shù)
  2. B.
    f（x）是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)
  3. C.
    f（x）既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)
  4. D.
    f（x）既非奇函數(shù)，又非偶函

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知是定義在上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意實(shí)數(shù)都有, 則

(A)是奇函數(shù)，但不是偶函數(shù)         (B)是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)

(C)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)         (D)既非奇函數(shù)，又非偶函

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