Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）和數(shù)列{a_n}滿足下列條件：a_n=f（a_n-1）（n=2，3，4，…），f(an)-f(an-1)=

an-an-1

2

(n=2，3，4，…），若a₁=30，a₂=60，令b_n=a_n+1-a_n（n∈N₊）．
（I）證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（II）設(shè)c_n=log₂b_n，S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，求使S_n取最大值時(shí)的n值．

Answer 1

（I）∵b_n=a_n+1-a_n，∴b_n+1=a_n+2-a_n+1，
∴

bn+1

bn

=

an+2-an+1

an+1-an

=

f(an+1)-f(an)

an+1-an

=

an+1-an 2

an+1-an

=

1

2

∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，
∵b₁=a₂-a₁=30∴bn=15•(

1

2

)n-2．
（II）c_n=log₂15+2-n，
∵c_n+1-c_n=-1，
∴數(shù)列{c_n}是遞減的等差數(shù)列，
令c_n＞0得n＜2+log₂15，∵log₂15∈（3，4），
∴2+log₂15∈（5，6）
∴數(shù)列{c_n}的前5項(xiàng)都是正的，第6項(xiàng)開始全部是負(fù)的，
∴n=5時(shí)，S_n取最大值．