已知函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的減函數(shù)，且滿足f(
1
3
)=1，f（x•y）=f（x）+f（y） 
（1）求f（1），f(
1
9
)的值；
（2）若f（x）+f（2-x）＜2，求x的取值范圍．
分析：（1）利用賦值法求f（1），f(
1
9
)的值；
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性將f（x）+f（2-x）＜2，進(jìn)行轉(zhuǎn)化然后解不等式即可求x的取值范圍．
解答：解：（1）令x=y=1，則f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0．
令x=y=
1
3
，則f(
1
9
)=f(
1
3
)+f(
1
3
)=1+1=2．
（2）∵f（x•y）=f（x）+f（y），
∴f（x）+f（2-x）=f[x（2-x）]，
∴不等式f（x）+f（2-x）＜2等價(jià)為f[x（2-x）]＜2，
即f[x（2-x）]＜f（
1
9
），
∵f（x）為（0，+∞）上的減函數(shù)，
得
x(2-x)＞0
x(2-x)＞
1
9
，
即x（2-x）＞
1
9
，
∴x2-2x+
1
9
＜0，
解得1-
2
2
3
＜x＜1+
2
2
3
．
∴x的取值范圍為{x|1-
2
2
3
＜x＜1+
2
2
3
}．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用賦值法是解決抽象函數(shù)的基本方法．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
2x+2-x
2
，g（x）=
2x-2-x
2
，
（1）計(jì)算：[f（1）]2-[g（1）]2；
（2）證明：[f（x）]2-[g（x）]2是定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f（x）=x+
a
x
的定義域?yàn)椋?，+∞），且f（2）=2+
2
2
．設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作直線y=x和y軸的垂線，垂足分別為M、N．
（1）求a的值．
（2）問(wèn)：|PM|•|PN|是否為定值？若是，則求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求四邊形OMPN面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=log3
3
x
1-x
，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）圖象上的兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)為
1
2
的點(diǎn)P滿足2
OP
=
OM
+
ON
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（Ⅰ）求證：y1+y2為定值；
（Ⅱ）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*，且n≥2，求Sn；
（Ⅲ）已知an=
1
6
，                          n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
，其中n∈N*，Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若Tn＜m（Sn+1+1）對(duì)一切n∈N*都成立，試求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=log3
3
x
1-x
，M（x1，y1），N（x2，y2）是f（x）圖象上的兩點(diǎn)，且x1+x2=1．
（1）求證：y1+y2為定值；
（2）若Sn=f（
1
n
）+f（
2
n
）+…+f（
n-1
n
）（n∈N*，N≥2），求Sn；
（3）在（2）的條件下，若an=
1
6
 ，n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
（n∈N*），Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．求Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sin（2x-
π
6
），g（x）=sin（2x+
π
3
），直線y=m與兩個(gè)相鄰函數(shù)的交點(diǎn)為A，B，若m變化時(shí)，AB的長(zhǎng)度是一個(gè)定值，則AB的值是（　�。�

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