Question

13．已知?jiǎng)訄AP過定點(diǎn)F（1，0）且和直線l：x=-1相切．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（2）若過點(diǎn)F的直線與軌跡E交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M（-1，0），求證：直線MA、MB的斜率之和為0．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知及拋物線的定義知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡E是以F（1，0）為焦點(diǎn)，直線l：x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，由此能求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為：x=my+1，由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得y²-4my-4=0，由此利用韋達(dá)定理、直線的斜率，結(jié)合已知能證明直線MA、MB的斜率之和為0．

解答 解：（1）∵動(dòng)圓P過定點(diǎn)F（1，0）且和直線l：x=-1相切，
∴根據(jù)已知及拋物線的定義知：
動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E是以F（1，0）為焦點(diǎn)，直線l：x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程為y²=4x．
證明：（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為：x=my+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得y²-4my-4=0，
△=16m²+16＞0，y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，
∴k_MA•k_MB=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}$=$\frac{{y}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}+{y}_{2}{x}_{1}+{y}_{2}}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$
=$\frac{（1+\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{4}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$=$\frac{（1-1）•4m}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$=0．
∴直線MA、MB的斜率之和為0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查直線的斜率之和為定值的證明，考查拋物線、直線方程、韋達(dá)定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，考查創(chuàng)新意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)，是中檔題．