Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d的單調(diào)遞減區(qū)間是（-1，3），且在x=1處的切線方程為：12x+y-13=0．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-4，4]上的最值；
（3）若過點（0，m）有且只有一條直線與f（x）相切，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可知f'（x）=0的兩個根為-1和3，利用根與系數(shù)的關系建立等式，以及導數(shù)的幾何意義知在x=1處的導數(shù)等于切線的斜率，切點在函數(shù)f（x）的圖象上，建立方程組，解之即可求出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）根據(jù)（1）得到f'（x）=0的兩個根為-1和3，求出f（-4），f（-1），f（3），f（4），比較大小，即可求得函數(shù)f（x）在區(qū)間[-4，4]上的最值；
（3）設切點為（t，f（t）），則k=f'（t），再結合兩點間斜率公式，即可得到g（t）=2t³-3t²+m-12=0只有一解，轉化成求根的存在性問題，求解即可得到m的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=ax³+bx²+cx+d
∴f'（x）=3ax²+2bx+c，
∵f（x）=ax³+bx²+cx+d的單調(diào)遞減區(qū)間是（-1，3），
∴f'（x）=3ax²+2bx+c＜0的解集為（-1，3），
∴f'（x）=0的兩個根為-1和3，
∴

3a＞0 -1+3=- 2b 3a -1×3= c 3a

，①
∵f（x）在x=1處的切線方程為：12x+y-13=0，
∴

f′(1)=3a+2b+c=-12 f(1)=a+b+c+d=1

，②
由①②，可得a=1，b=-3，c=-9，d=12，
∴f（x）=x³-3x²-9x+12；
（2）由（1）得到f'（x）=0的兩個根為-1和3，
∴f（-4）=-64，f（-1）=17，f（3）=-15，f（4）=-8，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-4，4]上的最小值為-64，最大值為17；
（3）∵f（x）=x³-3x²-9x+12，
∴f′（x）=3x²-6x-9，
設切點為（t，f（t）），
則切線的斜率k=f′（t）=3t²-6t-9，
又切線過點（0，m），則由兩點間斜率公式，可得k=

f(t)-m

t

，
∴3t²-6t-9=

f(t)-m

t

，即g（t）=2t³-3t²+m-12=0只有一個解，
∵g′（t）=6t²-6t=6t（t-1），
令g′（t）=0，可得t=0或t=1，
當t∈（-∞，0）和（1，+∞）時，g′（t）＞0，即g（t）在（-∞，0）和（1，+∞）上單調(diào)遞增，
當t∈（0，1）時，g′（t）＜0，即g（t）在（0，1）上單調(diào)遞減，
∴當t=0時，g（t）取得極大值g（0）=m-12，當t=1時，g（t）取得極小值g（1）=m-13，
∵g（t）=2t³-3t²+m-12=0只有一個解，
∴m-12＜0或m-13＞0，解得m＜12或m＞13，
∴m的取值范圍為m＜12或m＞13．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及根與系數(shù)關系等基礎題知識，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，一般求出導函數(shù)對應方程的根的函數(shù)值與區(qū)間端點的函數(shù)值比較大小即可得最值．同時考查到了方程有解問題，一般選用參變量分離法、數(shù)形結合法解決．屬于中檔題．