Question

9．已知點P（x，y）是曲線x²+y²-2x=0上的動點．
（1）求3x+$\sqrt{3}y$的取值范圍；
（2）若x+y+a≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再進(jìn)行三角代換，結(jié)合正弦函數(shù)的定義域和值域，求得3x+$\sqrt{3}y$=3+2$\sqrt{3}$sin（θ+$\frac{π}{3}$）的范圍．
（2）由題意可得a≥-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$） 恒成立，再結(jié)合正弦函數(shù)的定義域和值域，求得-1-$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$） 的最大值，可得a的范圍．

解答 解：（1）由于點P（x，y）是曲線x²+y²-2x=0上的動點，故有（x-1）²+y²=1，
可令x=1+cosθ，y=sinθ，θ∈[0，2π]，
則3x+$\sqrt{3}y$=3+3cosθ+$\sqrt{3}$sinθ=3+2$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ+$\frac{1}{2}$sinθ）=3+2$\sqrt{3}$sin（θ+$\frac{π}{3}$），
再根據(jù)sin（θ+$\frac{π}{3}$）∈[-1，1]，可得3+2$\sqrt{3}$sin（θ+$\frac{π}{3}$）∈[3-2$\sqrt{3}$，3+2$\sqrt{3}$]．
（2）若x+y+a≥0恒成立，則a≥-x-y=-1-cosθ-sinθ=-1-$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），
再根據(jù)sin（θ+$\frac{π}{4}$）∈[-1，1]，可得-1-$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）∈[-1-$\sqrt{2}$，-1+$\sqrt{2}$]，
故a≥-1+$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查三角代換，圓的一般方程，三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．