Question

已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₂=6，a₅=12；數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和是{S_n}，且S_n+

1

2

b_n=1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（3）記c_n=

-2

an•log3 bn 2

，{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，若T_n＜

m-2010

2

對(duì)一切n∈N^*都成立，求最小正整數(shù)m．

Answer 1

分析：（1）由數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₂=6，a₅=12，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組，求出它的首項(xiàng)和公差，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和是{S_n}，且S_n+

1

2

b_n=1，當(dāng)n=1時(shí)，解得b1=

2

3

．當(dāng)n≥2時(shí)推導(dǎo)出bn=

1

2

(bn-1-bn)，由此能夠證明{b_n}是公比的等比數(shù)列．
（3）由b_n=

2

3

•(

1

3

)n-1=2•（

1

3

）ⁿ，知C_n=

-2

an•log3 bn 2

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用裂項(xiàng)求和法得到T_n=1-

1

n+1

＜1．由T_n＜

m-2010

2

對(duì)一切n∈N^*都成立，知

m-2010

2

≥1．由此以能求出最小正整數(shù)m的值．

解答：（1）解：∵數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₂=6，a₅=12，
∴

a1+d=6 a1+4d=12

，解得a₁=4，d=2，
∴a_n=4+2（n-1）=2n+2．
（2）證明：∵數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和是{S_n}，且S_n+

1

2

b_n=1，
∴當(dāng)n=1時(shí)，S1+

1

2

b1=1，解得b1=

2

3

．
當(dāng)n≥2時(shí)，∵S_n=1-

1

2

bn，S_n-1=1-

1

2

bn-1，
∴S_n-S_n-1=

1

2

(bn-1-bn)，即bn=

1

2

(bn-1-bn)，
∴bn =

1

3

bn-1．
∴{b_n}是以

2

3

為首項(xiàng)，

1

3

為公比的等比數(shù)列．
（3）解：由（2）知，b_n=

2

3

•(

1

3

)n-1=2•（

1

3

）ⁿ，
∴C_n=

-2

an•log3 bn 2

=

-2

(2n+2)log3( 1 3 )n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]
=1-

1

n+1

＜1．
∵T_n＜

m-2010

2

對(duì)一切n∈N^*都成立，
∴

m-2010

2

≥1．∴m≥2012，
∴最小正整數(shù)m的值為2012．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查等比數(shù)列的證明，考查最小正整數(shù)的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意構(gòu)造法和裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．