(1)證明:f(x)=x+
1
x
(x>0).在(0,1)上是單調(diào)遞減函數(shù),在(1,+∞)上是單調(diào)增函數(shù).
(2)探索研究“對勾函數(shù)”g(x)=x+
a
x
(x>0)其中a>0的單調(diào)性.
考點:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用
分析:(1)對f(x)求導(dǎo),利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)<0,判斷f(x)是減函數(shù),f′(x)>0,判斷f(x)是增函數(shù)即可;
(2)利用導(dǎo)數(shù)判斷“對勾函數(shù)”g(x)=x+
a
x
的單調(diào)性即可.
解答: 解:(1)證明:∵f(x)=x+
1
x
(x>0),
∴f′(x)=1-
1
x2
,
當(dāng)x∈(0,1)時,0<x2<1,∴
1
x2
>1,
∴f′(x)<0,f(x)是單調(diào)減函數(shù);
當(dāng)x∈(1,+∞)時,x2>1,∴
1
x2
<1,
∴f′(x)>0,f(x)是單調(diào)增函數(shù);
(2)“對勾函數(shù)”g(x)=x+
a
x
(x>0)其中a>0,
g(x)在(0,
a
)上是單調(diào)減函數(shù),在(
a
,+∞)上是單調(diào)增函數(shù);
證明如下:∵g(x)=x+
a
x
,
∴g′(x)=1-
a
x2
,
∴當(dāng)x∈(0,
a
)時,0<x2<a,∴
1
x2
>a,
∴g′(x)<0,g(x)是單調(diào)減函數(shù),
當(dāng)x∈(
a
,+∞)時,x2>a,∴
1
x2
<a,
∴g′(x)>0,g(x)是單調(diào)增函數(shù).
點評:本題考查了判斷函數(shù)的單調(diào)性問題,解題時可以利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性,是基礎(chǔ)性題目.
練習(xí)冊系列答案
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已知函數(shù)f(x)=x-1-xlnx,(x>0)
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最大值
(Ⅱ)設(shè)g(x)=
lnx
x-1
(x>1),試分析函數(shù)g(x)的單調(diào)性
(Ⅲ)利用(Ⅱ)的結(jié)論,證明:當(dāng)n>m>0時,(1+n)m<(1+m)n

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命題“若可導(dǎo)函數(shù)f(x)是奇函數(shù),則f′(x)是偶函數(shù)”的否命題是( 。
A、若可導(dǎo)函數(shù)f(x)是偶函數(shù),則f′(x)是奇函數(shù)
B、若可導(dǎo)函數(shù)f(x)是奇函數(shù),則f′(x)是奇函數(shù)
C、若可導(dǎo)函數(shù)f(x)是奇函數(shù),則f′(x)不是偶函數(shù)
D、若可導(dǎo)函數(shù)f(x)不是奇函數(shù),則f′(x)不是偶函數(shù)

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運行圖中程序框內(nèi)的程序,在兩次運行中分別輸入-4和4,則運行結(jié)果依次
 

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設(shè)x,y滿足約束條件
log2(2x+y)≤2
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在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的方程是x2+2y2=5,C2的參數(shù)方程是
x=
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t
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-f(x),x<0
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①F(x)=|f(x)|;
②函數(shù)F(x)是奇函數(shù);
③當(dāng)a>0時,若x1x2<0,x1+x2>0,則F(x1)+F(x2)>0成立;
④當(dāng)a<0時,函數(shù)y=F(x2-2x-3)存在最大值,不存在最小值,
其中所有正確命題的序號是
 

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設(shè)x、y∈R,
i
j
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a
=x
i
+(y+2)
j
,
b
=x
i
+(y-2)
j
,且|
a
|+|
b
|=8,求點M(x、y)的軌跡C的方程.

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