Question

函數(shù)f(x)=

log2(x+1)，0≤x≤1 2x， -1≤x＜0

的值域是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)分段函數(shù)的解析式，分兩段進(jìn)行求解，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷法則，可以得到函數(shù)f（x）為單調(diào)增函數(shù)，即可求得f（x）的取值范圍即值域，當(dāng)-1≤x＜0時(shí)，判斷出f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，利用單調(diào)性求出f（x）的取值范圍，即可得f（x）的值域，最后取兩個(gè)值域的并集，可以求得f（x）的值域．

解答：解：函數(shù)f(x)=

log2(x+1)，0≤x≤1 2x， -1≤x＜0

，
①當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=log₂（x+1），
∵y=x+1在[0，1]上單調(diào)遞增，而y=log₂x在其定義域上為單調(diào)遞增函數(shù)，
∴f（x）=log₂（x+1）在[0，1]上單調(diào)遞增，
∴f（0）≤f（x）≤f（1），
即log₂（0+1）≤f（x）≤log₂（1+1），
∴l(xiāng)og₂1≤f（x）≤log₂2，
∴0≤f（x）≤1，
∴f（x）的值域?yàn)閇0，1]；
②當(dāng)-1≤x＜0時(shí)，f（x）=2x是[-1，0）上的單調(diào)遞增函數(shù)，
∴f（-1）≤f（x）＜f（0），
即-2≤f（x）＜0，
∴f（x）的值域?yàn)閇-2，0）．
綜合①②可得，f（x）的值域?yàn)閇-2，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的值域與最值，求函數(shù)的值域要注意考慮定義域的取值，再根據(jù)函數(shù)的解析式進(jìn)行判斷該使用何種方法求解值域．對(duì)于分段函數(shù)一般選用數(shù)形結(jié)合和分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行解題．屬于中檔題．