Question

1．已知函數(shù)f（x）=4^x-2^x-a，a∈R．
（1）若f（x）＞1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若a=-1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）若f（x）＞1恒成立，則函數(shù)f（x）的最小值大于1，利用換元法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求解可得實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若a=-1，令t=2^x，t＞0，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）令t=2^x，t＞0，
則y=t²-t-a，t＞0，
由y=t²-t-a的圖象是開口朝上且以直線t=$\frac{1}{2}$為對(duì)稱軸的拋物線，
故當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時(shí)，即x=-1時(shí)，函數(shù)f（x）取最小值-a-$\frac{1}{4}$，
若f（x）＞1恒成立，則-a-$\frac{1}{4}$＞1，
解得：a＜-$\frac{5}{4}$，
（2）若a=-1，則f（x）=4^x-2^x+1，
令t=2^x，t＞0，
則y=t²-t+1，t＞0，
由y=t²-t+1的圖象是開口朝上且以直線t=$\frac{1}{2}$為對(duì)稱軸的拋物線，
故y=t²-t+1在（0，$\frac{1}{2}$]上為減函數(shù)，在[$\frac{1}{2}$，+∞）上為增函數(shù)，
又由t=2^x為增函數(shù)，且x=-1時(shí)，t=2^x=$\frac{1}{2}$，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[-1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間（-∞，-1]

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的對(duì)稱軸和單調(diào)區(qū)間的關(guān)系．