Question

18．已知三棱錐S-ABC外接球的直徑SC=6，且AB=BC=CA=3，則三棱錐S-ABC的體積為（　�。�

• A． $\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$
• B． $\frac{{9\sqrt{2}}}{4}$
• C． $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{9\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，可得三棱錐O-ABC為正四面體，求其高，可得三棱錐S-ABC的高，則體積可求．

解答 解：如圖，

設(shè)三棱錐S-ABC外接球的球心為O，連接OB，OA，
則OA=OB=OC=$\frac{1}{2}SC=3$，
∵AB=BC=CA=3，
∴三棱錐O-ABC為正四面體，過O作OG⊥平面ABC，垂足為G，
則CG=$\frac{2}{3}\sqrt{{3}^{2}-（\frac{3}{2}）^{2}}=\sqrt{3}$，OG=$\sqrt{{3}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}=\sqrt{6}$．
∴${V}_{S-ABC}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×\frac{3\sqrt{3}}{2}×2\sqrt{6}$=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查柱、錐、臺體積的求法，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．