Question

已知函數(shù)f（x）=x³-6x²+9x+m，若存在a＜b＜c滿足，f（a）=f（b）=f（c）=0，則實數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，依題意有，函數(shù)f（x）=x³-6x²+9x+m的圖象與x軸有三個不同的交點，
f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3），故f（1）f（3）＜0，解得m的取值范圍即可．

解答： 解：因為f（x）=x³-6x²+9x+m，所以f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3），
令f′（x）=0，得x=1或x=3．依題意有，函數(shù)f（x）=x³-6x²+9x+m的圖象與x軸有三個不同的交點，
故f（1）f（3）＜0，即（1-6+9+m）（3³-6×3²+9×3+m）＜0，所以-4＜m＜0．
故答案為（-4，0）．

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性及最值問題，列出不等式解決問題．