Question

若數(shù)列滿足：存在正整數(shù)，對于任意正整數(shù)都有成立，則稱數(shù)列為周期數(shù)列，周期為. 已知數(shù)列滿足，現(xiàn)給出以下命題：

①若，則可以取3個不同的值

②若，則數(shù)列是周期為的數(shù)列

③且，存在，是周期為的數(shù)列

④且，數(shù)列是周期數(shù)列.其中所有真命題的序號是 .

 

Answer 1

①②③

【解析】對于①，根據(jù)條件，當(dāng)m＞2時，有a2＝m－1＞1，a3＝m－2，于是m－2＝4，有m＝6滿足條件；當(dāng)m∈（1，2]時，有a2＝m－1∈（0，1]，則a3＝，于是＝4，m＝滿足條件；若m＝1，則an＝1恒成立，不可能有a3＝4，當(dāng)m∈（0，1）時，有a2＝＞1，a3＝－1，于是－1＝4，m＝滿足條件.故①正確.

對于②，逐個推導(dǎo)可得：a1＝，a2＝－1，a3＝，a4＝， 是周期為3的周期數(shù)列.故②正確

對于③，要想使得{an}是周期為T的周期數(shù)列，因為m＞1，故只需使得aT＝，則aT＋1＝m，而m＞1，可使得aT＝m－（T－1），即m－（T－1）＝，于是m2－（T－1）m－1＝0，該關(guān)于m的方程兩根之積為－1，必為異號兩根，而根之和為T－1≥1，故其正根m必定大于1，滿足條件，故③正確；

對于④，仿照③可知，當(dāng)T＝1時，m＝1不滿足條件

當(dāng)T∈N*且T≥2時，若m為整數(shù)，則必定在若干項以后出現(xiàn)an＝1，之后成為常數(shù)數(shù)列，不合題意，

故m為非整數(shù)，且m＝（舍負），

要使得m∈Q，則必為有理數(shù)（且為整數(shù)），令其為n，且T－1＋n不是偶數(shù)，否則m為整數(shù)，即T＋n是偶數(shù)，所以，T與n同奇或同偶

由T2－2T＋5＝n2知，T與n不能同為偶數(shù)，

當(dāng)T為奇數(shù)時，T2是奇數(shù)，等式左邊是偶數(shù)，這與n2為奇數(shù)矛盾

綜上，這樣的條件不可能滿足.故④錯誤

考點：分段數(shù)列，周期性，數(shù)列綜合問題