Question

2．矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B在直線y=2x+m上，C，D在拋物線y²=4x上，該矩形的外接圓方程為x²+y²-x-4y-t=0．
（1）求矩形ABCD對(duì)角線交點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）求此矩形的長，并求m，t的值．

Answer 1

分析 （1）矩形ABCD對(duì)角線交點(diǎn)M，即矩形的外接圓圓心，由矩形的外接圓方程，可得答案；
（2）設(shè)矩形ABCD的頂點(diǎn)C，D的坐標(biāo)為：（$\frac{1}{4}{a}^{2}$，a），（$\frac{1}{4}^{2}$，b），矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)為：（1-$\frac{1}{4}{a}^{2}$，4-a），（1-$\frac{1}{4}^{2}$，4-b），則k_AB=2，k_BC=-$\frac{1}{2}$，可得a，b的值，進(jìn)而得到m，t的值．

解答 解：（1）矩形ABCD對(duì)角線交點(diǎn)M，即矩形的外接圓圓心，
由矩形的外接圓方程為x²+y²-x-4y-t=0．
故M點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，2）；
（2）設(shè)矩形ABCD的頂點(diǎn)C，D的坐標(biāo)為：（$\frac{1}{4}{a}^{2}$，a），（$\frac{1}{4}^{2}$，b）
矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)為：（1-$\frac{1}{4}{a}^{2}$，4-a），（1-$\frac{1}{4}^{2}$，4-b），
則k_AB=$\frac{（4-a）-（4-b）}{（4-\frac{1}{4}{a}^{2}）-（4-\frac{1}{4}^{2}）}$=$\frac{4}{a+b}$=2，
故a+b=2；
k_BC=$\frac{a-（4-b）}{\frac{1}{4}{a}^{2}-（1-\frac{1}{4}^{2}）}$=-$\frac{1}{2}$，
即a²+b²=20，
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=4\\ b=-2\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}a=-2\\ b=4\end{array}\right.$，
不妨令：$\left\{\begin{array}{l}a=-2\\ b=4\end{array}\right.$，則點(diǎn)C，D的坐標(biāo)為：（1，-2），（4，4）
A，B的坐標(biāo)為：（0，6），（-3，0），
則m=6，t=12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與圓的位置關(guān)系，圓的一般方程，直線垂直的條件，方程思想，難度中檔．