Question

13．已知函數(shù)f（x）=-x+b的圖象過點(diǎn)（2，1），若不等式f（x）≥x²+x-5的解集為A，且A⊆（-∞，a]．
（1）求a的取值范圍；
（2）解不等式$\frac{{{x^2}-（a+3）x+2a+3}}{f（x）}$＜1．

Answer 1

分析 （1）先求出b的值，再解不等式即可得到a的范圍．
（2）分類討論即可求出不等式的解集．

解答 解：（1）依題意，可得b=3f（x）≥x²+x-5即-x+3≥x²+x-5，即x²+2x-8≤0，
∴A=[-4，2]⊆（-∞，a]，
∴a≥2
∴a的范圍為[2，+∞）．                             
（2）$\frac{{{x^2}-（a+3）x+2a+3}}{f（x）}＜1$即 $\frac{{{x^2}-（a+2）x+2a}}{x-3}＞0$
由（1）知 a≥2，
當(dāng)a=2時(shí)，不等式的解集為（3，+∞）；
當(dāng)2＜a＜3時(shí)，不等式的解集為（2，a）∪（3，+∞）；
當(dāng)a=3時(shí)，不等式的解集為（2，3）∪（3，+∞）；
當(dāng)a＞3，不等式的解集為（2，3）∪（a，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了不等式的解法，關(guān)鍵是分類討論，屬于中檔題．