Question

4．過雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)F（c，0）作圓x²+y²=a²的切線，切點(diǎn)為M．直線FM交拋物線y²=-4cx于點(diǎn)N，若$\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{ON}=2\overrightarrow{OM}$（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $1+\sqrt{5}$

Answer 1

分析 說明M是FN的中點(diǎn)．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F₁，說明OM為△NF₂F₁的中位線．通過NF₂⊥NF₁，于是可得|NF|=2b，設(shè)P（x，y），推出 c-x=2a，利用雙曲線定義結(jié)合勾股定理得 y²+4a²=4b²，然后求解離心率即可．

解答 解：∵若$\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{ON}=2\overrightarrow{OM}$，∴M是FN的中點(diǎn)．
設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F₁，則F₁為（-c，0），也是雙曲線的焦點(diǎn)．
∵OM為△NF₂F₁的中位線．|OM|=a，∴|NF₁|=2 a．
∵OM⊥MF，
∴NF₂⊥NF₁，于是可得|NF|=2b，
設(shè)N（x，y），則 c-x=2a，
于是有x=c-2a，y²=-4c（c-2 a），過點(diǎn)F作x軸的垂線，點(diǎn)N到該垂線的距離為2a．
由勾股定理得 y²+4a²=4b²，即-4c（c-2a）+4 a²=4（c²-a²），
變形可得c²-a²=ac，兩邊同除以a²
有 e²-e-1=0，所以e=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，負(fù)值已經(jīng)舍去．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，向量以及圓與雙曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．