Question

動圓M過定點A（-

2

，0），且與定圓A?：（x-

2

）²+y²=12相切．
（1）求動圓圓心M的軌跡C的方程；
（2）過點P（0，2）的直線l與軌跡C交于不同的兩點E、F，求

PE

•

PF

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）依題意動圓與定圓相內(nèi)切，可得|MA?|+|MA|=2

3

＞2

2

，利用橢圓定義，即可求出動圓圓心M的軌跡的方程；
（2）設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理即向量數(shù)量積公式，即可求得

PE

•

PF

的取值范圍．

解答：解：（1）A?（

2

，0），依題意動圓與定圓相內(nèi)切，
∴|MA?|+|MA|=2

3

＞2

2

             …（3分）
∴點M的軌跡是以A?、A為焦點，2

3

為長軸上的橢圓，
∵a=

3

，c=

2

∴b²=1．
∴點M的軌跡方程為

x2

3

+y2=1        …（5分）
（2）解：設(shè)l的方程為x=k（y-2）代入

x2

3

+y2=1，消去x得：（k²+3）y²-4k²y+4k²-3=0
由△＞0得16k⁴-（4k²-3）（k²+3）＞0，∴0≤k²＜1       …（7分）
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
則y₁+y₂=

4k2

k2+3

，y₁y₂=

4k2-3

k2+3

又

PE

=（x₁，y₁-2），

PF

=（x₂，y₂-2）
∴

PE

•

PF

=x₁x₂+（y₁-2）（y₂-2）=k（y₁-2）•k （y₂-2）+（y₁-2）（y₂-2）
=（1+k²）（

4k2-3

k2+3

-2×

4k2

k2+3

+4）=9（1-

2

k2+3

）              …（10分）
∵0≤k²＜1，∴3≤k²+3＜4
∴

PE

•

PF

∈[3，

9

2

）         …（12分）

點評：本題考查橢圓的定義，考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．