Question

設(shè){a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a₁=b₁=1，a₃+b₅=21，a₅+b₃=13
（Ⅰ）求{a_n}、{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{

an

bn

}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè){a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項公式，聯(lián)立方程求得d和q，進而可得{a_n}、{b_n}的通項公式．
（Ⅱ）數(shù)列{

an

bn

}的通項公式由等差和等比數(shù)列構(gòu)成，進而可用錯位相減法求得前n項和S_n．

解答：解：（Ⅰ）設(shè){a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，則依題意有q＞0且

1+2d+q4=21 1+4d+q2=13

解得d=2，q=2．
所以a_n=1+（n-1）d=2n-1，b_n=q^n-1=2^n-1．
（Ⅱ）

an

bn

=

2n-1

2n-1

．Sn=1+

3

21

+

5

22

+…+

2n-3

2n-2

+

2n-1

2n-1

，①2Sn=2+3+

5

2

+…+

2n-3

2n-3

+

2n-1

2n-2

，②
②-①得Sn=2+2+

2

2

+

2

22

+…+

2

2n-2

-

2n-1

2n-1

，=2+2×(1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-2

)-

2n-1

2n-1

=2+2×

1- 1 2n-1

1- 1 2

-

2n-1

2n-1

=6-

2n+3

2n-1

．

點評：本題主要考查等差數(shù)列的通項公式和用錯位相減法求和．