已知F1、F2是橢圓Γ1：
x2
m2
+
y2
m2-4
=1和雙曲線Γ2：
x2
n2
-
y2
4-n2
=1的公共焦點，P是它們的一個公共點，且∠F1PF2=
π
3
，則mn的最大值為
 
．
考點：雙曲線的簡單性質(zhì),橢圓的簡單性質(zhì)
專題：解三角形,不等式的解法及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：設(shè)|PF1|=s，|PF2|=t，求出焦點，可得c=2，由余弦定理可得s，t的方程，再由橢圓和雙曲線的定義可得m，n的關(guān)系，再由重要不等式a2+b2≥2ab，即可求得最大值．
解答： 解：設(shè)|PF1|=s，|PF2|=t，
由題意可得公共焦點為知F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0），
即有c=2，
在三角形PF1F2中，
由余弦定理可得4c2=s2+t2-2stcos60°
即s2+t2-st=16，
由橢圓的定義可得s+t=2m（m＞0），
由雙曲線的定義可得s-t=2n（n＞0），
解得s=m+n，t=m-n．
即有16=（m+n）2+（m-n）2-（m+n）（m-n）=m2+3n2≥2
3
mn，
即有mn≤
8
3
3
．
當且僅當m=
3
n，取得最大值
8
3
3
．
故答案為：
8
3
3
．
點評：本題考查橢圓和雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，主要考查橢圓和雙曲線的定義，同時考查三角形的余弦定理和重要不等式的運用，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

利用指數(shù)定義及運算法則計算：
（1）3-2=
 
；
（2）
52
=
 
；
（3）（
3
7
）2=
 
；
（4）
49
=
 
；
（5）
3-27
=
 
；
（6）10000 
1
4
=
 
；
（7）4 -
1
2
=
 
；
（8）（6
1
4
） 
1
2
=
 
；
（9）
3
•
33
•
63
=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義在R上的函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=
3
2
對稱，且對任意的實數(shù)x都有f（x）=-f（x+
3
2
），f（-1）=1，f（0）=-2，則f（2013）+f（2014）+f（2015）=（　�。�
A、0B、-2C、1D、2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

當0＜x＜
π
2
時，求證：x-sinx＜
1
6
x3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線與拋物線y2=2px（p＞0）的準線分別交于A，B兩點，O為坐標原點，若雙曲線C的離心率為2，△AOB的面積為
3
，則△AOB的內(nèi)切圓半徑為（　　）
A、
3
-1
B、
3
+1
C、2
3
-3
D、2
3
+3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下表為某地近幾年機動車輛數(shù)與交通事故數(shù)的統(tǒng)計資料，請判斷交通事故數(shù)與機動車輛數(shù)是否有線性相關(guān)關(guān)系．
機動車輛數(shù)x/千臺95110112120129135150180
交通事故數(shù)y/千件0.91.41.62.02.11.91.82.1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

一點沿直線運動，如果由始點起經(jīng)過t秒后的距離為s=
1
4
t4-
7
3
t3+7t2-8t，則速度為零的時刻是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知α，β三次函數(shù)f（x）=
1
3
x3+
1
2
ax2+2bx（a，b∈R）的兩個極值點，且α∈（0，1）β∈（1，2）求動點（a，b）所在區(qū)域的面積為（　�。�
A、
1
4
B、
1
2
C、1
D、2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

將下面用分析法證明
a2+b2
2
≥ab的步驟補充完整；要證
a2+b2
2
≥ab，只需證a2+b2≥2ab，也就是證
 
，即證
 
，由于
 
顯然成立，因此原不等式成立．

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同步練習(xí)冊答案