Question

4．已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的上，下頂點(diǎn)分別為A、B，左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，以A，B，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為頂點(diǎn)構(gòu)造橢圓C₂，C₂的焦點(diǎn)在y軸上，記為F′₁、F′₂，再以F₁，F(xiàn)₂，F(xiàn)′₁，F(xiàn)′₂為頂點(diǎn)構(gòu)造橢圓C₃，C₃的焦點(diǎn)在x軸上，則橢圓C₁的離心率的取值范圍是（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

Answer 1

分析 求得橢圓橢圓C₁的上下頂點(diǎn)和焦點(diǎn)，由題意可得橢圓C₂的方程，求出焦點(diǎn)，再由題意求得橢圓C₃的方程，進(jìn)而得到b＞c＞$\sqrt{^{2}-{c}^{2}}$，由離心率公式，計(jì)算即可得到范圍．

解答 解：由橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1可得A（0，b），B（0，-b），F(xiàn)₁（-c，0）F₂（c，0），
即有橢圓C₂：$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{c}^{2}}$=1（b＞c＞0），
即有F′₁（0，$\sqrt{^{2}-{c}^{2}}$），F(xiàn)′₂（0，-$\sqrt{^{2}-{c}^{2}}$），
由題意可得橢圓C₃：$\frac{{x}^{2}}{{c}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}-{c}^{2}}$=1（c＞$\sqrt{^{2}-{c}^{2}}$＞0），
由b＞c＞$\sqrt{^{2}-{c}^{2}}$，可得b²＞c²＞b²-c²，
即有a²-c²＞c²＞a²-2c²，
即2c²＜a²＜3c²，
由e=$\frac{c}{a}$，可得$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜e＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的方程的求法和離心率的范圍，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．