Question

16．已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA=1，PA⊥平面ABCD，E、F分別是線段AB、BC的中點．
（Ⅰ）求直線AC與平面PCD所成角的正弦值；
（Ⅱ）判斷并說明PA上是否存在點G，使得EG∥平面PFD？若存在，求出$\frac{PG}{GA}$的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz，分別求出直線AC與平面PCD的法向量，然后根據(jù)兩個向量的數(shù)量積公式，求出直線AC與平面PCD所成角的正弦值；
（Ⅱ）求出平面PFD的法向量，及EG的方向向量，進而根據(jù)線面平行，則兩個垂直數(shù)量積為0，構造方程求出tG點位置，即可得出結論．

解答 解：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，∠BAD=90°，AB=1，AD=2，建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz，則A（0，0，0），B（1，0，0），
C（1，2，0），D（0，2，0），P（0，0，1），
設平面PCD的法向量為$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），則，
∵$\overrightarrow{PC}$=（1，2，-1），$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+2b-c=0}\\{2b-c=0}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{n}$=（0，1，2），
∵$\overrightarrow{AC}$=（1，2，0），
∴直線AC與平面PCD所成角的正弦值為$\frac{2}{\sqrt{5}•\sqrt{5}}$=$\frac{2}{5}$．（6分）
（Ⅱ）設平面PFD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則
∵$\overrightarrow{PF}$=（1，1，-1），$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-1）
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y-z=0}\\{2y-z=0}\end{array}\right.$，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，2）．（8分）
設G點坐標為（0，0，m），E（$\frac{1}{2}$，0，0），則$\overrightarrow{EG}$=（-$\frac{1}{2}$，0，m），
要使EG∥平面PFD，只需$\overrightarrow{EG}$•$\overrightarrow{n}$=0，即-$\frac{1}{2}$+2m=0，
得m=$\frac{1}{4}$，從而$\frac{PG}{GA}$=3．（12分）

點評 本題考查直線與平面平行的判定，考查直線AC與平面PCD所成角的正弦值的計算，考查邏輯推理能力，考查向量法的運用，考查空間想象能力．