Question

【題目】， ， ．

（1）證明：存在唯一實(shí)數(shù)，使得直線和曲線相切；

（2）若不等式有且只有兩個(gè)整數(shù)解，求的范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)切點(diǎn)為（x0，y0），得到+x0﹣2=0．設(shè)h（x）=ex+x﹣2，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出x0的值，判斷結(jié)論即可；

（2）根據(jù)a（x﹣）＜1，令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的最小值，通過討論a的范圍，求出滿足條件的a的范圍即可．

試題解析：

（1）設(shè)切點(diǎn)為，

則， ，①

和相切，則， ，②

所以，

即，令， ，所以單增，

又因?yàn)?/span>， ，所以，存在唯一實(shí)數(shù)，使得，且，

所以只存在唯一實(shí)數(shù)，使①②成立，即存在唯一實(shí)數(shù)使得和相切．

（2）令，則，所以，

令，則，由（Ⅰ）可知， 在上單減，在單增，且，故當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ．

當(dāng)時(shí)，因?yàn)橐�求整�?shù)解，所以在時(shí)， ，所以有無窮多整數(shù)解，舍去；

當(dāng)時(shí)， ，又， ，所以兩個(gè)整數(shù)解為0,1，即所以，即；

當(dāng)時(shí)， ，因?yàn)?/span>， 在內(nèi)大于或等于1，所以無整數(shù)解，舍去．

綜上， ．