Question

如圖，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面AA₁B₁B⊥底面ABC，側(cè)棱AA₁與底面ABC成60⁰的角，AA₁=2．底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，其重心為G點(diǎn)．E是線段BC₁上一點(diǎn)，且BE=

1

3

BC₁．
（1）求證：GE∥側(cè)面AA₁B₁B；
（2）求平面B₁GE與底面ABC所成銳二面角的大�。�

Answer 1

分析：（1）要證明GE∥側(cè)面AA₁B₁B，可在平面AA₁B₁B內(nèi)找到一條與EG平行的直線，根據(jù)G為底面三角形的重心，而E點(diǎn)滿足
BE=

1

3

BC1，延長(zhǎng)B₁E交BC于一點(diǎn)F，利用三角形相似得到F為BC的中點(diǎn)，說明A、G、F三點(diǎn)共線，連結(jié)GE，根據(jù)平行線截線段成比例定理得到GE∥AB₁，從而得到要證的結(jié)論；
（2）根據(jù)側(cè)面AA₁B₁B⊥底面ABC，直接過B₁作B₁H⊥AB的延長(zhǎng)線于H，垂足為H，然后過H作HT⊥AF的延長(zhǎng)線于T，垂足為T，連B₁T，由此得到∠B₁TH為所求二面角的平面角，然后通過解直角三角形求二面角的大小．

解答：（1）證明：如圖，
連結(jié)B₁E并延長(zhǎng)延長(zhǎng)B₁E交BC于F，∵△B₁EC₁∽△FEB，BE=

1

2

EC₁
∴BF=

1

2

B₁C₁=

1

2

BC，從而F為BC的中點(diǎn)．
∵G為△ABC的重心，∴A、G、F三點(diǎn)共線，且

FG

FA

=

FE

FB1

=

1

3

，∴GE∥AB₁，
又GE?側(cè)面AA₁B₁B，∴GE∥側(cè)面AA₁B₁B
（2）解：如圖，
在側(cè)面AA₁B₁B內(nèi)，過B₁作B₁H⊥AB的延長(zhǎng)線于H，垂足為H，∵側(cè)面AA₁B₁B⊥底面ABC，
∴B₁H⊥底面ABC．又側(cè)棱AA₁與底面ABC成60⁰的角，AA₁=2，
∴∠B₁BH=60°，BH=1，B₁H=

3

．
在底面ABC內(nèi)，過H作HT⊥AF的延長(zhǎng)線于T，垂足為T，連B₁T．由三垂線定理有B₁T⊥AF，
又平面B₁GE與底面ABC的交線為AF，∴∠B₁TH為所求二面角的平面角．
∴AH=AB+BH=3，∠HAT=30°，∴HT=AHsin30°=

3

2

，
在Rt△B₁HT中，tan∠B₁TH=

B1H

HT

=

2 3

3

，
從而平面B₁GE與底面ABC所成銳二面角的大小為arctan

2 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與平面平行的判定，考查了二面角的平面角的求法，綜合考查了學(xué)生的空間想象能力和思維能力，利用三角形的中位線平行于底邊及利用平行線截線段成比例定理是證明線面平行常用的方法，此題是中檔題．