Question

11．已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，其中a²=2bc．
（1）若a=b，求cosA的值；
（2）設(shè)$A=\frac{π}{2}$，且$b=\sqrt{6}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用已知可求a=b，c=$\frac{a}{2}$，利用余弦定理即可得解cosA的值．
（2）利用已知可求a²=2$\sqrt{6}$c，進而利用勾股定理可得c²-2$\sqrt{6}$c+6=0，解得c的值，利用直角三角形的面積公式即可計算得解．

解答 解：（1）在△ABC中，∵a²=2bc，a=b，
∴可得：c=$\frac{a}{2}$，
∴cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{a}^{2}+（\frac{a}{2}）^{2}-{a}^{2}}{2×a×\frac{a}{2}}$=$\frac{1}{4}$．
（2）∵a²=2bc，$A=\frac{π}{2}$，且$b=\sqrt{6}$，
∴a²=2$\sqrt{6}$c，
∵由勾股定理可得：b²+c²=a²，可得：6+c²=a²=2$\sqrt{6}$c，整理可得：c²-2$\sqrt{6}$c+6=0，
∴解得：c=$\sqrt{6}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bc=$\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\sqrt{6}$=3．

點評 本題主要考查了余弦定理，勾股定理，直角三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．