Question

6．在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量$\overrightarrow{m}$=（1，0），$\overrightarrow{n}$=（0，1），定點A的坐標(biāo)為（1，2），點M坐標(biāo)為（4，5），曲線C={N|$\overrightarrow{AN}$=$\overrightarrow{m}$cosθ+$\overrightarrow{n}$sinθ，0≤θ≤2π}，區(qū)域U={P|r≤$\overrightarrow{|MP|}$≤R，0＜r＜R}，曲線C與區(qū)域U的交集為兩段分離的曲線，則（　�。�

• A． 3$\sqrt{2}$-1＜r＜R＜3$\sqrt{2}$+1
• B． 3$\sqrt{2}$-1＜r＜3$\sqrt{2}$+1≤R
• C． r≤3$\sqrt{2}$-1＜R＜3$\sqrt{2}$+1
• D． r＜3$\sqrt{2}$-1＜R＜3$\sqrt{2}$+1

Answer 1

分析 由題意求出N的軌跡為以A（1，2）為圓心，以1為半徑的圓，區(qū)域U為圓環(huán)，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合求得答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{m}$=（1，0），$\overrightarrow{n}$=（0，1），
∴$\overrightarrow{AN}$=$\overrightarrow{m}$cosθ+$\overrightarrow{n}$sinθ=（cosθ，0）+（0，sinθ）
=（cosθ，sinθ），
設(shè)N（x，y），則$\overrightarrow{AN}=（x-1，y-2）=（cosθ，sinθ）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-1=cosθ}\\{y-2=sinθ}\end{array}\right.$，即（x-1）²+（y-2）²=1．
∴曲線C={N|$\overrightarrow{AN}$=$\overrightarrow{m}$cosθ+$\overrightarrow{n}$sinθ，0≤θ≤2π}表示以A（1，2）為圓心，以1為半徑的圓．
又M（4，5），如圖，|MB|=|MA|-1
=$\sqrt{（4-1）^{2}+（5-2）^{2}}=3\sqrt{2}$-1，
|MC|=|MA|+1=$\sqrt{（4-1）^{2}+（5-2）^{2}}=3\sqrt{2}+1$．
要使區(qū)域U={P|r≤$\overrightarrow{|MP|}$≤R，0＜r＜R}，
且曲線C與區(qū)域U的交集為兩段分離的曲線，
則$3\sqrt{2}-1$＜r＜R＜$3\sqrt{2}+1$．
故選：A．

點評 本題考查曲線與方程，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法與數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬中檔題．